http://matthias-hielscher.de/blog/63/Fasziniernder_Mathe-Exkurs_oder_die_Zahl_1.html
März
10

"Fasziniernder Mathe-Exkurs" oder "die Zahl 1"

Ich hatte es hier irgendwann schon einmal angesprochen, doch haben wir in einem Forum kürzlich heiß darüber diskutiert.

Eine kleine, nicht überaus wichtige, aber dennoch ganz nette mathematische Aussage, die sicher einige noch nicht kennen ist folgende:

0.9 Periode = 1

Doch stimmen diese Aussagen wirklich?
Ist 0.9 Periode (0.9999999 ...) nicht ein kleines bischen kleiner als die Zahl 1?

Nein, ist sie nicht, so unglaubwürdig es klingen mag. Ich werde es euch nun auf zwei Arten beweisen. Einmal mit einem schönen kleinen mathematischen Beweis und einmal mit einem weniger mathematisch sauberen, aber dennoch korrekten und sehr anschaulichen Beispiel.

Beweis 1 [mathematisch]:

10 * 0.9 Periode = 9.9 Periode
9 * 0.9 Periode = (10 - 1) * 0.9 Periode
= 10 * 0.9 Periode - 1 * 0.9 Periode
= 9.9 Periode - 0.9 Periode
9 * 0.9 Periode = 9
0.9 Periode = 1

Beweis 2 [anschaulich mathematisch]:

1 / 9 = 0.1 Periode = 0.111111 ...
2 / 9 = 0.2 Periode = 0.222222 ...
3 / 9 = 0.3 Periode = 0.333333 ...

...

8 / 9 = 0.8 Periode = 0.888888 ...
9 / 9 = 0.9 Periode = 0.999999 ... = 1 (9 / 9 gekürzt)

Das ist doch interessant, nicht wahr? Im Normalfall würde man wohl denken, dass 0.9 Periode ein wenig kleiner als 1 ist, doch ist dies, wie wir soeben gesehen haben, nicht der Fall.

Grund für diesen Eintrag im Blog war folgendes Chat-Gespräch. Man merkt, wie erstaunt manche sind, dass 0.9 Periode wirklich 1 ist. \;\)

Matze (04:09 PM) :
innem forum wollten sie mir erst net glauben, dass 0.999999999[...] = 1 ist
[Name entfernt] (04:12 PM) :
ich find das aber ehrlich gesagt auch unlogisch
[Name entfernt] (04:12 PM) :
geht mir auch nicht in den kopf rein..
Matze (04:13 PM) :
echt net?
[Name entfernt] (04:13 PM) :
net wirklich... 0.9999999999999... kann doch nie im leben exakt 1 sein

Und da haben wir die Aussage. Früher hätte ich das auch nie geglaubt. Doch sehen wir uns an, wie das "Gespräch" weiter verlaufen ist.

Matze (04:14 PM) :
ja doch natürlich. Beweise mir das Gegenteil \;\)
[Name entfernt] (04:14 PM) :
beweise mir dass es so is!

Das wollte ich hören. *g* Hm, wie stelle ich das so an, dass man irgendwie von selbst draufkommt? Ah, ich habe eine Idee:

Matze (04:15 PM) :
Dezimal ausgedrückt ist 1 / 9 = ?
[Name entfernt] (04:16 PM) :
0.111111111111
Matze (04:15 PM) :
sehr schön \:\)
2 / 9 = ?
[Name entfernt] (04:16 PM) :
0,22222222?
Matze (04:16 PM) :
8 / 9 = ?
[Name entfernt] (04:16 PM) :
0,88888888888
Matze (04:16 PM) :
9 / 9 = ? na, na, na?
[Name entfernt] (04:16 PM) :
\:shock\:
Matze (04:16 PM) :
^^
[Name entfernt] (04:16 PM) :
stimmt
[Name entfernt] (04:17 PM) :
das übersteigt irgendwie mein denkvermögen ^^

[...]

Diese Person hatte ihr kleines Erfolgserlebnis *g* da wollte ich das keinem vorenthalten. \;\)

Bleibe auf dem Laufenden!

Wenn du den RSS-Feed abonnierst, wirst du über neue Blogeinträge benachrichtigt.

Kommentare

  • Sandra
    14.03.2006, 23:13
  • finds immer noch krass ^^
  • 3_of_8
    30.03.2006, 16:46
  • 0,P9 kommt unendlich nah an die 1 ran, daher ist es logisch, dass es 1 ergibt.
  • Matze
    (registriert)
    31.03.2006, 08:41
  • <em>> 0,P9 kommt unendlich nah an die 1 ran, daher ist es logisch, dass es 1 ergibt.</em>
    Nein, eben nicht. 0.9999... kommt nicht unendlich nahe an die 1 heran, sondern ist genau 1. Es ist <strong>KEINE</strong> Annäherung, auch nicht die geringste, sondern es ist exakt der Wert 1.
  • 3_of_8
    31.03.2006, 13:30
  • Das ist mal wieder Definitionssache und Wortklauberei.
  • Matze
    (registriert)
    31.03.2006, 19:24
  • Das ist keine Definitionssache. Schau die Beweise an. Sie sind doch dazu da um zu beweisen, dass es genau 1 ist, was meinst du, wofür ich sonst diesen Artikel gebloggt habe? \:mecker\:
  • 3_of_8
    01.04.2006, 22:52
  • Wenn es unendlich nah ran kommt, ergibt es 1. Ob du das jetzt als Annäherung oder wieauchimmer bezeichnest, IST Wortklauberei.

    Das ist nur eine andere Sichtweise, die zum gleichen Ergebnis wie dein Beweis führt.
  • Matze
    (registriert)
    01.04.2006, 22:57
  • Nein ist es nicht und damit wirst du dich abfinden müssen. Es kommt eben <strong>nicht</strong> unendlich nahe an die 1 heran. Bitte akzeptiere das nun (oder auch nicht), aber versuche nicht ständig daran zu zweifeln. Es handelt sich <strong>nicht</strong> um eine Annäherung. Damit ist das Thema nun erledigt.
  • Robert
    02.04.2006, 00:25
  • Moin Matze,

    Lass dich nicht von deiner eigenen Beweisführung täuschen. \;\-\)
    1 - 0.9P ergibt einen infinitesemal kleinen Betrag, somit kann man durchaus sagen, dass:
    1 - 0.9P = 0 bzw 1 = 0.9P ist.

    Deine Beweisführung halte ich dennoch für etwas plump.
    Das Literal 0.1P für 1/9 ist einfach ein reines Hilfsmittel, weil die Zahl in dezimaler Notation nicht darstellbar ist.
    Wenn man das im Hinterkopf behält und noch ein paar Regeln aufstellt, in denen diese Schreibweise nur als dezimale Representation von ansonsten nicht darstellbaren Werten gültig ist, gäbe es 0.9P gar nicht. Es wäre von Anfang an nur das Erebnis der Berechnung von Hilfszahlen.
    0.2P + 0.7P ergibt alo nicht 0.9P sonder 1, schlicht und ergreifend weil sie nur Platzhalter in der dezimalen Notation für 2/9 und 7/9 waren, aber eigentlich nie als eigenständige Zahlen existieren sollten.

    "Lazy eight" ist nichts mit dem unser grauer Kopfinhalt oder auch die Mathemathik besonders gut klarkommen.
    Im Normalfall ist das Auftreten von Unendlichkeiten ein klares Zeichen dafür, dass etwas falsch läuft. In diesem Fall gibt es keine Unendlichkeiten, weil es schlichtweg Blödsinn ist 2/9 + 7/9 in dezimaler Form zu addieren. \;\-\)
    Bevor man solch kranke Hilfskonstrukte zweckentfremdet, könnte man gleich auf ein 9-basiertes System ausweichen und 0.2 + 0.3 = 1 ausrechnen. \:P

    Es ist spät und ich bin kein Mathrize. Ich wollte nur sagen, dass Sevens kleiner Bruder gar nicht sooo Unrecht hat. Nur der absolute Standpunkt von euch beiden ist falsch, IMHO...

    GN8,
    Robert
  • Robert
    02.04.2006, 00:29
  • "0.2 + 0.3 = 1" -> 0.2 + 0.7 = 1

    *Notiz kritzel* Nächstes Mal, was du da tippt \:wall\:
  • Jason
    02.04.2006, 13:38
  • Ich hab noch nen recht netten Beweis gefunden, der zwar eher "unmathematisch", aber auch sehr anschaulich is:
    Also. Wenn man 2 Zahlen (a und b) vergleicht, gibt es 3 Möglichkeiten: a < b, a = b und a > b. Davon isolieren wir uns jetzt mal die 2 ersten Möglichkeiten raus (indem wir bspw. davon ausgehen, dass die Zahlen sortiert sind).
    Wie unterscheiden sich diese Möglichkeiten jetzt:
    -Wenn a < b, dann gibt es unendlich viele Zahlen zwischen a und b liegen, für die gilt: a < x < b.
    -Wenn a = b, dann gibt es genau 0 Zahlen, die zwischen a und b liegen. Ist ja logisch, sollte es zumindest sein, spätestens wenn man sich den Zahlenstrahl anguckt \;\)
    So, nun gilt die Frage: 0.9p < 1 oder 0.9p = 1? Diese lässt sich ganz einfach beantworten: "Nenne mir eine Zahl, die zwischen 0.9periodisch und 1 liegt"
    Ergo gilt: 0.9p = 1 \;\)

Einen Kommentar schreiben

 
 
  • : *
  • :
  • : *
* Pflichtfelder