http://matthias-hielscher.de/blog/180/Quadratische_Gleichungen_Eigenschaften_und_Loesung.html
Sep
20

Quadratische Gleichungen [Eigenschaften und Lösung]

Quadratische Gleichungen haben die Form

[tex]ax^2+bx+c=0[/tex]


Geometrische Bedeutung:
  • Eine quadratische Gleichung hat eine Parabel als Schaubild
  • Die Lösungen sind die x-Koordinaten der Nullstellen der Funktion.
  • Fallunterscheidung
    • |a| = 1: Normalparabel
    • |a| < 1: gestreckte Parabel
    • |a| > 1: gestauchte Parabel
    • |a| > 0: Parabel ist nach oben geöffnet:

  • |a| < 0: Parabel ist nach unten geöffnet:



Quadratische Gleichungen lassen sich auf 2 verschiedene Wege lösen:


Mitternachtsformel:

  • [tex]x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/tex]

    Hier kann man dann schon ablesen, wie viele Lösungen eine quadratische Gleichung besitzt. Ist die Diskriminante

    [tex]D = b^2-4ac[/tex]

    positiv, so gibt es 2 Lösungen
    Null, so gibt es eine Lösung
    negativ, so gibt es keine reellen Lösungen


Quadratische Ergänzung:
  • 1) Man bringt den ersten Faktor a auf Eins
    2) Man addiert beidseitig die Hälfte des 2. Koeffizenten im Quadrat

    Allgemein sieht dies so aus:

    [tex]\begin{array}ax^2+bx+c&=&0
    x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}&=&0
    x^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2&=&-\frac{c}{a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2
    \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2&=&\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}
    \left(x+\frac{b}{2a}\right)&=&\pm\sqrt{\frac{b^2}{4a^2}-4a}
    x_{1,2}&=&\frac{-b}{2a}\pm\sqrt{\frac{b^2}{4a^2}-4a}\end{array}[/tex]

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